Artimatika Matriks

Definisi sebuah matriks(real) adalah array persegi panjang dari bilangan real

Bilangan $a_{ij}$ yang terletak pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari $A$ disebut $(i,j)$-entri (atau $ij$-entri) dari $A$. Sebuah matriks dengan $m$ baris dan $n$ kolom dikatakan memiliki ukuran (atau dimensi) $m \times n$. Matrik biasanya menggunakan huruf kapital awal alfabet (e.g. $A,B,C,D,$ etc.) untuk menunjukkan matriks.

Definisi notasi matriks

• Notasi pembangun matriks

  Notasi $[a_{ij}]_{m \times n}$ menunjukkan matriks $m \times n$ yang entri $ij$-nya (baris ke-$i$, kolom ke-$j$) adalah $a_{ij}$. Ketika tidak ada bahaya kebingungan, notasi ini sering disingkat menjadi $[a_{ij}]$.

• Notasi entri matriks

  Diberikan sebuah matriks $A$, notasi $[A]_{ij}$ menunjukkan entri ke-$i,j$ dari $A$.

Jadi jika $A = [a_{ij}]_{m \times n}$, maka $[A]_{ij} = a_{ij}$ untuk semua $1\le i \le m$ dan $1 \le i \le n$.

• notes

  Notasi untuk menyatakan matriks sering digunakan hanya untuk memberikan nama pada entri-entri dari suatu matriks sembarang. Namun, ini juga dapat digunakan untuk mendeskripsikan matriks yang entri $ij$-nya diberikan oleh aturan atau formula tertentu.

  Sebagai contoh, misalkan $A = [a_{ij}]_{2 \times 3}$, dimana $a_{ij} = (i-j)j$. Ini adalah matriks $2 \times 3$ yang entri $ij$-nya adalah $(i-j)j$. jadi
  

  $$A = \begin{bmatrix} (1-1)1 & (1-2)2 & (1-3)3\\ (2-1)1 & (2-2)2 & (2-3)3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -6\\ 1 & 0 & -3 \end{bmatrix}$$

  (2)

  Dalam contoh ini kita memiliki $[A]_{23} = -3$ dan $[A]_{ii} = 0$ untuk $i = 1,2$.

Definisi kesamaan matriks matrik dengan dimensi $m \times n$ dan $m' \times n'$ tersebut sama jika

1. $m = m'$ dan $n = n'$

2. $[A]_{ij} = [B]-{ij}$ untuk semua $1 \le i \le m$ dan $1 \le j \le n$.

Dengan kata lain, kita memiliki $A = B$ jika dan hanya jika memiliki bentuk yang sama, dan setiap entri dari $A$ sama dengan entri yang bersesuian dari $B$.

Definisi Matrik persegi, vektor baris, vektor kolom, matriks nol

sebuah matrik $1 \times n$

disebut vektor baris. Entri ke-$j$ dari sebuah vektor baris $a$ dilambangkan $[a]_j$. disebut vektor baris. Entri ke-$j$ dari sebuah vektor baris $a$ dilambangkan $[a]_j$.

sebuah matrik $n \times 1$

disebut vektor kolom. Entri ke-$i$ dari sebuah vektor kolom $b$ dilambangkan $[b]_i$.

$m \times n$ matriks nol, dilambangkan $0_{m \times n}$ adalah matriks dengan dimensi tersebut, yang sama semua entrinya adalah nol: yaitu $(0_{m \times n})_{ij} = 0$ untuk semua $1 \le i \le m$ dan $1 \le j \le n$.

penjumlah, Pengurangan, Perkalian

• Penjumlahan

$A + B = [a_{ij} + b_{ij}]_{m \times n}$ Dengan kata lain $A + B$ adalah matriks $m \times n$ yang memenuhi

semua $1 \le i \le m$ dan $1 \le j \le n$

• Penjumlahan

$A - B = [a_{ij} - b_{ij}]_{m \times n}$ Dengan kata lain $A - B$ adalah matriks $m \times n$ yang memenuhi

semua $1 \le i \le m$ dan $1 \le j \le n$

• Perkalian

$cA = [ca_{ij}]$

$[AB]_{ij} = a_{1j}b_{1j} + a_{1i}b_{2j} + \ldots + a_{ir}b_{rj} = \sum^r_{l = 1}a_{1l}b_{lj}$

Transpos Matriks

$A^T$ dalah matriks yang entri $ij$-nya adalah entri $ji$-nya dari $A$.

• $A^T$ adalah matriks yang baris ke-$i$-nya adalah kolom ke-$i$ dari $A$.

• $A^T$ adalah matriks yang baris ke-$j$-nya adalah kolom ke-$j$ dari $A$.

$A =

maka, $A^T =

Sifat-Sifat Transpos

• $(A + B)^T = A^T + B^T$

• $(cA)^T = cA^T$

• $(AB)^T = B^T A^T$

• $(A^T)^T = A$

Aljabar Matriks¶

Sifat-sifat Aritmatika Matriks

• hukum komutatif penjumlahan $A + B = B + A$

• hukum asosiatif penjumlahan $A + (B + C) = (A + B) + C$

• hukum asosiatif perkalian $A(BC) = (AB)C$

• hukun distributif kiri $A(B + C) = AB + AC$

• hukun distributif kanan $(B + C)A = BA + CA$

• hukum distributif penskalaan $a(B + C) = aB + aC$

• hukum distributif penskalaan lainnya $(a+b)C = aC + bC$

• hukum asosiatif penskalaan $a(bC) = (ab)C$

• hukum komutatif penskalaan $a(BC) = (aB)C =B(aC)$

Identitas Matriks

matriks persegi $n \times n$ $$ I_n =

$$

• Identitas penjumlahan

  $$0_{m \times n} + A = A$$

  (10)

  sifat matematika dimana suatu bilangan dijumlahkan dengan nol $(0)$ menghasilkan bilangan itu sendiri, nol $(0)$ disebut elemen identitas.

• Invers penjumlahan $-A$.

  $$-A = (-1)A = [-a_{ij}]$$

  (11)

• Identitas perkalian

  $$I_nA = AI_n = A$$

  (12)

Determinan

• notasi submatriks

Misalkan $A$ adalah matriks $n \times n$ dengan $n \ge 2$ . Diberikan $1 \le i,j \le n$, submatriks dari $A$ yang diperoleh dengan menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari $A$ dilambangkan $A_{ij}$.

• Definisi

Misal $A = [a_{ij}]_{n \times n}$

jika $n = 1$ maka $A =[a_{11}]$, maka kita mendefinisikan $\text{det } A = a_{11}$

jika $n \ge 2$ maka kita mendefinisika

Ex:

matriks $2 \times 2$ $A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$

$\text{det }A = (-1)^{1+1}a \text{ det }A_{11} + (-1)^{1+2}b\text{ det }A_{12} \\ = a\text{ det }[d]- b \text{ det }[c] \\ = ad - bc$

matriks $3 \times 3$ $ A =

$\text{det }A = a \det A_{11} - b \det A_{12} + c \det A_{13}$

$= a \begin{bmatrix} e & f \\ h & i \end{bmatrix} \text{- } b \begin{bmatrix} d & f \\ g & i \end{bmatrix} \text{+ } c \begin{bmatrix} d & e \\ g & h \end{bmatrix}$

$= a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$

Minor

sembarang pasangan $1 \le i,j \le n$ minor ke-$ij$ dari $A$ didefinisikan sebagai:

Ekspansi Baris/Kolom

• $$\text{det }A = \sum^n_{k=1} (-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}$$

  (16)

disebut ekspansi baris ke-$i$ dari

• $$\text{det }A = \sum^n_{k=1} (-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}$$

  (17)

disebut ekspansi baris ke-$j$ dari

Adjoin Matriks Matriks adjoin dari $A$, dilambangkan $text{ad }A$, adalah matriks $n \times n$ yang entri ke-$ij$-nya didefinisikan sebagai berikut:

Invers Matriks

• Singular: Detereminan = 0, matriks persegi yang tidak memiliki invers

• Non-singular: Determinan $\not = 0$, matriks persegi yang memiliki invers

jika $\text{det }A \not = 0$, maka $A^{-1} = \frac{1}{\text{det }A} \text{adj } A$

Matriks 4 $\times$ 4¶

$A = \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{bmatrix}$

$\begin{aligned} \det A &= (-1)^{1+1} a \det A_{11} + (-1)^{1+2} b \det A_{12} + (-1)^{1+3} c \det A_{13} + (-1)^{1+4} d \det A_{14} \\ &= a M_{11} - b M_{12} + c M_{13} - d M_{14}\\ &= a \begin{vmatrix} f & g & h\\ j & k & l\\ n & o & p \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} e & g & h\\ i & k & l\\ m & o & p \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} e & f & h\\ i & j & l\\ m & n & p \end{vmatrix} - d \begin{vmatrix} e & f & g\\ i & j & k\\ m & n & o \end{vmatrix}\\ &= a(f(kp-lo)-g(jp-ln)+h(jo-kn)) - b(e(kp-lo)-g(ip-lm)+h(io-km)) + c(e(jp-ln)-f(ip-lm)+h(in-jm)) - d(e(jo-kn)-f(io-km)+g(in-jm))\\ &= a(fkp-flo-gjp+gln+hjo-hkn) - b(ekp-elo-gip+glm+hio-hkm) + c(ejp-eln-fip+flm+hin-hjm) - d(ejo-ekn-fio+fkm+gin-gjm) \end{aligned}$

Matriks 5 $\times$ 5¶

$\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} + a_{14}C_{14} + a_{15}C_{15}$, dengan $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ji}$

• $C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = M_{11}$

• $C_{12} = (-1)^{1+2}M_{21} = -M_{21}$

• $C_{13} = (-1)^{1+3}M_{31} = M_{31}$

• $C_{14} = (-1)^{1+4}M_{41} = -M_{41}$

• $C_{15} = (-1)^{1+5}M_{51} = M_{51}$

$\begin{aligned} \det A &= 1M_{11} - 1M_{21} + 1M_{31} - 1M_{41} + 1M_{51}\ &= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \ 3 & 2 & 4 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 3 \ 2 & 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} -

\end{aligned}$

$M_{11} =

M_{11} = 1A_{11} - 3A_{12} + 1A_{13} - 2A_{14}$

$ \begin{aligned} M_{11} &= 1 \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 3

&= 1(15) - 3(14) + 1(-5) - 2(-3) \ &= 15 - 42 - 5 + 6 \ M_{11} &= -26 \end{aligned}$

$M_{12} =

M_{12} = 2A_{11} - 3A_{12} + 1A_{13} - 2A_{14}$

$ \begin{aligned} M_{12} &= 2 \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 3

&= 2(15) - 3(-6) + 1(-3) - 2(7) \ &= 30 + 18 - 3 - 14 \ M_{12} &= 31 \end{aligned} $

$M_{13} =

M_{13} = 2A_{11} - 1A_{12} + 1A_{13} - 2A_{14}$

$ \begin{aligned} M_{13} &= 2 \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} - 1

&= 2(14) - 1(7) + 1(8) - 2(16) \ &= 28 - 7 + 8 - 32 \ M_{13} &= -3 \end{aligned} $

$M_{14} =

M_{14} = 2A_{11} - 1A_{12} + 3A_{13} - 2A_{14}$

$ \begin{aligned} M_{14} &= 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 3 \ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1

&= 2(-5) - 1(5) + 3(8) - 2(-4) \ &= -10 - 5 + 24 + 8 \ M_{14} &= 17 \end{aligned} $

$M_{15} =

M_{15} = 2A_{11} - 1A_{12} + 3A_{13} - 1A_{14}$

$ \begin{aligned} M_{15} &= 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \ 1 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1

&= 2(-3) - 1(15) + 3(16) - 1(-4) \ &= -6 - 15 + 48 + 4 \ M_{15} &= 31 \end{aligned} $

$\begin{aligned} \det A &= 1M_{11} - 1M_{12} + 1M_{13} - 1M_{14} + 1M_{15}\\ &= (-26) - 31 + 23 - (-22) + (-4)\\ &= -61 + 45\\ &= -16 \end{aligned}$

• Langkah 1: Eliminasi kolom pertama

Gunakan baris pertama (R1) sebagai pivot:

• $( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 )$

• $( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 )$

• $( R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1 )$

• $( R_5 \leftarrow R_5 - 2R_1 )$

$

$

• Langkah 2: Eliminasi kolom kedua

Pivot di baris 2:

• $( R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2 )$

• $( R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2 )$

$

$

• Langkah 3: Eliminasi kolom ketiga

Pivot di baris 3:

• $( R_4 \leftarrow R_4 + \frac{4}{3}R_3 )$

$

$

• Langkah 4: Eliminasi kolom keempat

Pivot di baris 4:

• $( R_5 \leftarrow R_5 + \frac{3}{7}R_4 )$

$

$

• Langkah 5: Hitung determinan

Karena sekarang matriks segitiga atas, determinan = hasil kali diagonal:

$\begin{aligned} \det(A) &= 1 \cdot (-1) \cdot 3 \cdot \frac{7}{3} \cdot (-1)\\ &= 7 \end{aligned}$