Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear (SPL) adalah sekumpulan dua atau lebih persamaan aljabar linear yang memiliki variabel sama, pangkat tertinggi satu, dan diselesaikan bersamaan untuk mencari nilai variabel yang memenuhi seluruh persamaan. SPL dapat berbentuk dua variabel (SPLDV) atau tiga variabel (SPLTV), dengan solusi unik, tak hingga banyak, atau tidak ada.

• Contoh persamaan linear (SPLDV):

  $$ax + by = c$$

  (1)

• Contoh persamaan linear (SPLTV):

  $$ax + by + cz = d$$

  (2)

sebuah ekspresi linear dalam $n$ peubah tidak diketahui(atau variabel) $x_1,x_2,...,x_n$ adalah ekspresi berbentuk

dengan $a_1,a_2,..,a_n$ adalah bilangan real tetap.

Sebuah persamaan linear dalam peubah $x_1,x_2,...,x_n$ adalah persamaan yang dapat disederhanakan hanya menggunakan penjumlahan dan pengurangan menjadi bentuk

yang kita sebut sebagai bentuk baku, persamaan tersebut disebut homogen jika $b = 0$

Saat menampilkan sistem yang terdiri atas $m$ persamaan dalam $n$ peubah, $x_1,x_2,...,x_n$ biasanya kita menuliskan setiap persamaan dalam bentuk baku dan menyelaraskan suku-suku yang bersesuaian ke dalam kolom:

sistem homogen biasanya ditulis:

notasi indeks ganda yang digunakan untuk menampilkan sistem linear. Berikut cara memahaminya:

• Indeks $i$ pada $a_{ij}$ dan $b_i$ menunjukkan baris ke-$i$ dalam sistem yang ditampilkan, atau secara ekuivalen, persamaan ke-$i$.

• Indeks $j$ pada $a_{ij}$ menunjukkan kolom ke-$j$, yang berkaitan dengan peubah ke-$j$, untuk $1≤j≤n$.

Diberikan suatu sistem linear, kita berupaya mencari himpunan seluruh solusinya. Seperti yang akan segera kita lihat, himpunan solusi ini memiliki salah satu dari tiga bentuk kualitatif berikut:

1. Himpunan solusi kosong; artinya, tidak ada solusi. Dalam hal ini, sistem disebut tidak konsisten. Jika tidak demikian, sistem disebut konsisten.

2. Himpunan solusi berisi tepat satu elemen; artinya, hanya ada satu solusi.

3. Himpunan solusi berisi tak hingga banyak elemen; artinya, terdapat tak hingga solusi.

Example

1. $$x - y = 0\\ x - y = 1$$

   (7)
2. $$x - y = 0\\ x + y = 1$$

   (8)
3. $$x - y = 1\\ 2x - 2y = 2$$

   (9)

   1. Persamaan pertama mengimplikasikan $x - y$. Substitusi $y$ untuk $x$ pada persamaan kedua menghasilkan $0 = 1$ suatu kontradiksi. Maka tidak ada solusi: $S = \emptyset$

   2. Persamaan pertama memberi $x - y$. Substitusi ke persamaan kedua menghasilkan $2x = 1$, sehingga $x = \dfrac{1}{2}$. Maka solusi tunggalnya adalah $(x,y) = (\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$, dan $S = {(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})}$

   3. Persamaan kedua hanyalah dua kali persamaan pertama. Keduanya memiliki himpunan solusi yang sama, sehingga cukup cari semua solusi dari $x - y = 1$. Misalkan $x = t$ untuk sebarang $t \in \mathbb{R}$, maka $y = t -1$. Jadi solusinya adalah $(x,y) = (t,t-1)$ untuk semua $t \in \mathbb{R}$, dan $S = {(t,t - 1): t \in \mathbb{R}}$, suatu himpunan tak hingga!

Representasi Matriks dari Sistem Linear. Jika $A$ adalah matriks koefisien dari suatu sistem persamaan linear dan b adalah vektor konstanta, maka kita akan menuliskan $LS(A,$ b$)$ sebagai ungkapan singkat untuk sistem persamaan linear tersebut, yang akan kita sebut sebagai representasi matriks dari sistem linear.

Example Notasi untuk sistem persamaan linear.

Sistem persamaan linear

Matriks koefisien

Vektor konstanta

dan sehingga akan direferensikan sebagai $LS(A,$ b$)$.

Matriks augmentasi. Misalkan kita memiliki sistem dengan $m$ persamaan dalam $n$ variabel, dengan matriks koefisien $A$ dan vektor konstanta b. Maka matriks augmentasi dari sistem persamaan tersebut adalah matriks berukuran $m \times (n+1)$ yang $n$ kolom pertamanya adalah kolom-kolom dari $A$ dan kolom terakhirnya (kolom ke-$n+1$) adalah vektor kolom b. Ketika dideskripsikan secara simbolik, matriks ini akan dituliskan sebagai $[A|b]$ matriks augmentasi hanyalah sebuah matriks, dan bukan sistem persamaan. Namun, matriks augmentasi selalu terkait dengan suatu sistem persamaan, dan sebaliknya.

Example Matriks augmentasi

3 sistem persamaan dengan 3 variabel.

berikut adalah matriks augmentasinya